比赛场次 511
比赛名称 近5年noip/csp题目回顾
比赛状态 已结束比赛成绩
开始时间 2022-06-25 08:30:00
结束时间 2022-06-26 17:30:00
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注释介绍 只有历年比赛题才最接近比赛题。
题目名称 格雷码
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格雷码

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【题目描述】

通常,人们习惯将所有 $n$ 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为:00,01,10,11。

格雷码(Gray Code)是一种特殊的 $n$ 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为:00,01,11,10。

$n$ 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:

1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为:0,1。$n + 1$ 位格雷码的前 $2^n$ 个二进制串,可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码(总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串)按顺序排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。$n + 1$ 位格雷码的后 $2^n$ 个二进制串,可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码(总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串)按逆序排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上,$n + 1$ 位格雷码,由 $n$ 位格雷码的 $2^n$ 个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 $2^{n+1}$ 个二进制串。另外,对于 $n$ 位格雷码中的 $2^n$ 个 二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 $0∼2^{n−1}$ 编号。

按该算法,2 位格雷码可以这样推出:

已知 1 位格雷码为 0,1。前两个格雷码为 00,01。后两个格雷码为 11,10。合并得到 00,01,11,10,编号依次为 0∼3。

同理,3 位格雷码可以这样推出:

已知 2 位格雷码为:00,01,11,10。前四个格雷码为:000,001,011,010。后四个格雷码为:110,111,101,100。合并得到:000,001,011,010,110,111,101,100,编号依次为 0∼7。

现在给出 $n$,$k$,请你求出按上述算法生成的 $n$ 位格雷码中的 $k$ 号二进制串。

【输入格式】

仅一行两个整数 $n$,$k$,意义见题目描述。

【输出格式】

仅一行一个 $n$ 位二进制串表示答案。

【样例输入1】

2 3

【样例输出1】

10

【样例输入2】

3 5

【样例输出2】

111

【样例输入3】

64 8894641145141919810

【样例输出3】

0100011011001000000100101000000110010110101000110000000001100011

 【样例解释】

样例1:

2 位格雷码为:00,01,11,10,编号从 0∼3,因此 3 号串是 10。

样例2:

3 位格雷码为:000,001,011,010,110,111,101,100,编号从 0∼7,因此 5 号串是 111。

【数据规模与约定】

对于$ 50\% $的数据:$n≤10$

对于$ 80\% $的数据:$k≤5×10^6$

对于$ 95\% $的数据:$k≤2^{63}−1$

对于$ 100\% $的数据:$1≤n≤64,0≤k<2^n$

【来源】

CSP-S 2019 Day1 Task 1