4018. [NOI 2024]树形图

【题目描述】

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的简单有向图 $G$，顶点从 $1$ 到 $n$ 编号。其中简单有向图的定义为不存在重边与自环的有向图。

定义顶点 $r$ 是有向图 $G$ 的根当且仅当对于 $1\leq k\leq n$，顶点 $r$ 到顶点 $k$ 存在恰好一条有向简单路径，其中简单路径的定义为不经过重复点的路径。

定义每个点的种类如下：

· 若顶点 $r$ 是图 $G$ 的根，则称顶点 $r$ 为图 $G$ 的一类点。

· 若顶点 $r$ 不是图 $G$ 的一类点，且存在一种删边的方案，使得图 $G$ 在删去若干条边后得到的图 $G'$ 满足：所有图 $G$ 中的一类点都是 $G'$ 的根，且顶点 $r$ 也是图 $G'$ 的根，则称顶点 $r$ 为图 $G$ 的二类点。

· 若顶点 $r$ 不满足上述条件，则称顶点 $r$ 为图 $G$ 的三类点。

根据上述定义，图 $G$ 的每个点都恰好属于一类点，二类点，三类点之一。你需要判断点 $1\sim n$ 分别属于这三个种类中的哪一种。

【输入格式】

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个非负整数 $c$，表示测试点编号。$c=0$ 表示该测试点为样例。

输入的第二行包含一个正整数 $t$，表示测试数据组数。

接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：

输入的第一行包含两个正整数 $n,m$，分别表示有向图的点数和边数。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $u,v$，表示一条从 $u$ 到 $v$的有向边。保证 $1\leq u,v\leq n$，且给定的有向图 $G$ 不存在重边与自环。

【输出格式】

对于每组数据，输出一行包含一个长度恰好为 $n$ 的字符串 $s$ 表示每个点的种类。其中 $s_i=1$ 表示点 $i$ 为一类点，$s_i=2$ 表示点 $i$ 为二类点，$s_i=3$ 表示点 $i$ 为三类点。

【样例1输入】

0
2
4 7
2 1
4 1
1 4
2 3
3 4
2 4
4 3
4 5
1 2
2 3
2 4
3 1
4 3

【样例1输出】

3233
2211

【样例2~6】

样例下载

样例2满足测试点 2 的约束条件。

样例3满足测试点 3,4 的约束条件。

样例4满足测试点 5,6 的约束条件。

样例5满足测试点 8,9 的约束条件。

样例6满足测试点 14,15 的约束条件。

【样例1说明】

样例 $1$ 共包含两组测试数据。

对于第一组测试数据，输入的图如下：

由于 $1,3,4$ 均不存在到达 $2$ 的路径，因此 $1,3,4$ 均为三类点。由于 $2$ 到 $1$ 的有向简单路径共有三条：$2\to 1$，$2\to 4\to 1$，$2\to 3\to 4\to 1$，因此 $2$ 不是一类点。删去边 $1\to 4$，$4\to 1$，$3\to 4$，$4\to 3$ 后，$2$ 到 $1,3,4$ 的有向简单路径均唯一，因此 $2$ 是图 $G'$ 的根，即 $2$ 是二类点。

对于第二组测试数据，输入的图如下：

容易发现 $3,4$ 均为一类点，删去边 $2\to 3$ 后，每个点到其他所有点的有向简单路径均唯一，因此 $1,2$ 均为二类点。

【数据规模与约定】

对于所有测试数据保证：$1\leq t\leq 10$，$2\leq n\leq 10^5$，$1\leq m\leq 2\times 10^5$，且图 $G$ 不存在重边与自环。

· 特殊性质 A：保证不存在一类点。

· 特殊性质 B：保证不存在二类点。

· 特殊性质 C：保证编号为 $1$ 的点为图 $G$ 的一类点。

【来源】

NOI2024 Day2 Task3