4090. [NOIP 2024]遗失的赋值

【题目描述】

小 F 有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \ldots , x_n$。每个变量可以取 $1$ 至 $v$ 的整数取值。

小 F 在这 $n$ 个变量之间添加了 $n - 1$ 条二元限制，其中第 $i$（$1 \leq i \leq n - 1$）条限制为：若 $x_i = a_i$，则要求 $x_{i+1} = b_i$，且 $a_i$ 与 $b_i$ 为 $1$ 到 $v$ 之间的整数；当 $x_i \neq a_i$ 时，第 $i$ 条限制对 $x_{i+1}$ 的值不做任何约束。除此之外，小 F 还添加了 $m$ 条一元限制，其中第 $j$（$1 \leq j \leq m$）条限制为：$x_{c_j} = d_j$。

小 F 记住了所有 $c_j$ 和 $d_j$ 的值，但把所有 $a_i$ 和 $b_i$ 的值都忘了。同时小 F 知道：存在给每一个变量赋值的方案同时满足所有这些限制。

现在小 F 想知道，有多少种 $a_i, b_i$（$1 \leq i \leq n - 1$）取值的组合，使得能够确保至少存在一种给每个变量 $x_i$ 赋值的方案可以同时满足所有限制。由于方案数可能很大，小 F 只需要你输出方案数对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

【输入格式】

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个整数 $T$，表示测试数据的组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含三个整数 $n, m, v$，分别表示变量个数、一元限制个数和变量的取值上限。

接下来 $m$ 行，第 $j$ 行包含两个整数 $c_j, d_j$，描述一个一元限制。

【输出格式】

对于每组测试数据输出一行，包含一个整数，表示方案数对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

【样例1输入】

3
2 1 2
1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 2
1 1
1 2

【样例1输出】

4
3
0

【样例1说明】

对于第一组测试数据，所有可能的 $(a_1, b_1)$ 取值的组合 $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ 都满足限制。例如，$(a_1, b_1) = (1, 1)$ 时，$(x_1, x_2) = (1, 1)$ 满足所有限制，而 $(a_1, b_1) = (2, 2)$ 时，$(x_1, x_2) = (1, 1)$ 与 $(x_1, x_2) = (1, 2)$ 均满足所有限制。

对于第二组测试数据，只有 $(x_1, x_2) = (1, 2)$ 一种可能的变量赋值，因此只有 $(a_1, b_1) = (1, 1)$ 不满足限制，其余三种赋值均满足限制。

对于第三组测试数据，不存在一种变量赋值同时满足 $x_1 = 1$ 和 $x_1 = 2$，因此也不存在满足限制的 $(a_1, b_1)$。

【样例 2】

见选手目录下的 assign/assign2.in 与 assign/assign2.ans。

该样例共有 $10$ 组测试数据，其中第 $i$（$1 \leq i \leq 10$）组测试数据满足数据范围中描述的测试点 $i$ 的限制。

【样例 3】

见选手目录下的 assign/assign3.in 与 assign/assign3.ans。

该样例共有 $10$ 组测试数据，其中第 $i$（$1 \leq i \leq 10$）组测试数据满足数据范围中描述的测试点 $i + 10$ 的限制。

样例下载

【数据规模与约定】

对于所有的测试数据，保证：

$1 \leq T \leq 10$，

$1 \leq n \leq 10^9$，$1 \leq m \leq 10^5$，$2 \leq v \leq 10^9$，

对于任意的 $j$（$1 \leq j \leq m$），都有 $1 \leq c_j \leq n$，$1 \leq d_j \leq v$。

特殊性质 A：保证 $m = n$，且对于任意的 $j$（$1 \leq j \leq m$），都有 $c_j = j$。

特殊性质 B：保证 $d_j = 1$。