3749. [NOI 2022]二次整数规划问题

【题目描述】

本题中，你需要解决一个著名的 NP 问题——二次整数规划问题。

二次整数规划问题要有变量：你需要给出一个长度为 $n$ 的整数序列 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，满足下文中的所有条件。

二次整数规划问题要有约束：你给出的整数序列需要满足以下两类约束：

1. 一类约束是单个变量取值的约束：给出正整数 $k$（$3 \leq k \leq 5$）和 $n$ 个区间 $[l_i, r_i]$（$1 \leq i \leq n$），其中 $1 \leq l_i \leq r_i \leq k$，你给出的序列需要满足 $\forall 1 \leq i \leq n$，$l_i \leq x_i \leq r_i$；

2. 另一类约束是变量之间取值的约束：给出 $m$ 个三元组 $(p_i, q_i, b_i)$，你给出的序列需要满足 $\forall 1 \leq j \leq m$，$| x_{p_j} - x_{q_j} | \leq b_j$。

二次整数规划问题要有目标函数：在给出 $k-2$ 个目标参数 $v_2,v_3,\dots,v_{k-1}$（注意下标范围为 $\boldsymbol{2}$ 至 $\boldsymbol{k-1}$**）的前提下，对于一个值域为 $[1,k]$ 的整数数列 $\{p_1,p_2,\dots,p_n\}$，设 $c_i$ 为该序列中取值为 $i$ 的元素个数，$G$ 为满足 $1 \leq i,j \leq n$ 且 $|p_i-p_j|\leq 1$ 的整数二元组 $(i, j)$ 个数，注意在 $\boldsymbol{i \neq j}$ 时，$\boldsymbol{(i, j)}$ 和 $\boldsymbol{(j, i)}$ 是不同的二元组。定义该序列的权值为

$$ W(p_1, p_2, \ldots, p_n) = 10^6 G+\sum_{i=2}^{k-1} c_i v_i \text{。} $$

你的序列需要在满足以上两类约束的情况下，最大化其权值。在给出的约束下，保证存在满足约束的序列。

二次整数规划问题不一定要有多组询问，但是我们会给出 $q$ 次询问，每次询问给出不同的权值参数 $v_2, v_3, \ldots, v_{k-1}$，对于每组询问你需要找到满足约束的最大化权值的序列。为了减少输出量，你只需要输出这个序列的权值。

【输入格式】

本题有多组测试数据。第一行一个非负整数和一个正整数 $C, T$，分别表示测试点编号和测试数据数量。$C = 0$ 表示该组数据为样例。

对于每组测试数据，第一行四个整数 $k, n, m, q$，描述序列值域、序列长度、变量之间约束的个数和询问次数。

接下来 $n$ 行每行两个整数 $l_i, r_i$，描述序列中每个元素对应的取值区间。

接下来 $m$ 行每行三个整数 $p_j, q_j, b_j$，描述一个变量之间的约束。

接下来 $q$ 行每行 $k - 2$ 个非负整数 $v_2, v_3, \ldots, v_{k - 1}$ 描述一组询问的权值参数。

【输出格式】

对于每组数据的每组询问输出一行一个整数，表示序列权值的最大值。

【样例1-8】

样例下载

样例1满足数据范围中测试点 $1$ 的性质。

样例2满足数据范围中测试点 $3$ 的性质。

样例3满足数据范围中测试点 $5$ 的性质。

样例4满足数据范围中测试点 $2$ 的性质。

样例5满足数据范围中测试点 $4$ 的性质。

样例6满足数据范围中测试点 $8$ 的性质。

样例7满足数据范围中测试点 $14$ 的性质。

样例8满足数据范围中测试点 $17$ 的性质。

【样例1-3解释】

样例1：第一个测试数据中两组询问对应的最优序列均为 $(1, 2, 2, 1, 3)$，有 $c_2 = 2, G = 21$。

样例2：第一个测试数据中两组询问对应的最优序列分别为 $(4,4,3,3)$ 和 $(4,3,2,2)$。

样例3：第一个测试数据中三组询问对应的一个最优序列分别为 $(3, 3, 3, 3, 3)$、$(2, 2, 3, 3, 2)$ 和 $(3, 2, 4, 4, 2)$。

【数据规模与约定】

设 $\sum q$ 为单个测试点中所有测试数据的 $q$ 的和。对于所有测试点，

· $1 \leq T \leq 600$，

· 第 $i$（$1 \le i \le T$）个测试数据中，$1 \leq n \leq \max(\frac{T}{i},2 \log_2 T)$，

· $3 \leq k \leq 5$，$0 \leq m \leq 3n$，$1 \leq q,\sum q \leq 3 \times 10^5$，

· $1 \leq l_i \leq r_i \leq k$，

· $1 \leq p_j,q_j \leq n$，$0 \leq b_j<k$，

· $0 \leq v_2,\dots,v_{k-1} \leq 10^{12}$。

特殊性质 A：$m=0$。

特殊性质 B：$m \leq 10$，单个测试点中所有测试数据的 $m$ 的和不超过 $200$。

特殊性质 C：数据随机生成。具体地，生成测试点中每组测试数据时，给出参数 $k,n,m,q$ 以及 $k$ 个非负常数 $p_0,p_1,p_2,\dots,p_{k-1}$，保证 $p_{k-1} \neq 0$，则按照如下规则生成该组数据：

· 对于 $1 \leq i \leq n$，独立均匀生成 $x,y \in [1,k]$，则 $l_i=\min(x,y),r_i=\max(x,y)$；

· 不断按照如下方式生成三元组直至有 $m$ 个三元组：

 1. 独立均匀随机生成 $u,v \in [1,n]$；

 2. 以 $p$ 为权值随机生成 $w$（对于 $0 \leq i \leq k-1$，$w=i$ 的概率为 $\frac{p_i}{p_0+p_1+\dots+p_{k-1}}$）；

 3. 若在原有三元组集合中加入 $(u,v,w)$ 后不存在序列 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 满足所有限制，则舍弃当前三元组，否则加入当前三元组。

· 每组询问的 $v_2, \ldots, v_{k-1}$ 在 $[0,10^{12}]$ 内独立均匀随机生成。

【来源】

NOI2022 Day2 Task3