3881. [省选 2023]过河卒

【题目背景】

棋盘上有一个过河卒，需要走到底线。卒行走的规则是可以向左移动一格，向右移动一格或者向前移动一格。同时在棋盘上有两个另一方的棋子，需要拦截这个卒走到底线。这两个棋子的走法和帅一致，可以走到前后左右四个方向上相邻的格子。因此本题可以称为“帅拦过河卒”。

【题目描述】

有一个 $n$ 行 $m$ 列的棋盘。我们用 $(i,j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的位置。棋盘上有一些 障碍，还有一个黑棋子和两个红棋子。

游戏的规则是这样的: 红方先走，黑方后走，双方轮流走棋。红方每次可以选择一个红棋子，向棋盘的相邻一格走一步。具体而言，假设红方选择的这个棋子位置在 $(i,j)$，那么它可以走到 $(i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)$ 中的一个，只要这个目的地在棋盘内且没有障碍且没有红方的另一个棋子。

黑方每次可以将自己的棋子向三个方向之一移动一格。具体地，假设这个黑棋子位置在 $(i,j)$，那么它可以走到 $(i-1,j),(i,j-1),(i,j+1)$ 这三个格子中的一个，只要这个目的地在棋盘内且没有障碍。

在一方行动之前，如果发生以下情况之一，则立即结束游戏，按照如下的规则判断胜负（列在前面的优先）：

·黑棋子位于第一行。此时黑方胜。

·黑棋子和其中一个红棋子在同一个位置上。此时进行上一步移动的玩家胜。

·当前玩家不能进行任何合法操作。此时对方胜。

现在假设双方采用最优策略，不会进行不利于自己的移动。也就是说:

·若存在必胜策略，则会选择所有必胜策略中，不论对方如何操作，本方后续获胜所需步数最大值最少的操作。

·若不存在必胜策略，但存在不论对方如何行动，自己都不会落败的策略，则会选择任意一种不败策略。

·若不存在不败策略，则会选择在所有策略中，不论对方如何操作，对方后续获胜所需步数最小值最大的操作。

如果在 $100^{100^{100}}$ 个回合之后仍不能分出胜负，则认为游戏平局。请求出游戏结束时双方一共移动了多少步，或者判断游戏平局。

【输入格式】

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含两个整数 $\text{id},T$，分别表示测试点编号和数据组数。特别地，样例的 $\text{id}$ 为 $0$。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含两个正整数 $n,m$，表示棋盘的行数和列数。

接下来 $n$ 行，每行包含一个长度为 $m$ 的字符串，其中第 $i$ 行的第 $j$ 个字符表示棋盘上 $(i,j)$ 这个位置的状态。

在这些字符中：'.' 表示空位；'#' 表示障碍物；'X' 表示黑棋；'O' 表示红棋。

保证黑棋恰好有一个，红棋恰好有两个，且黑棋不在第一行。

【输出格式】

对于每组数据，输出一行字符串。

如果游戏平局，请输出一行"Tie"。

如果红方胜，请输出一行 "Red t"。其中 t 为游戏结束时双方移动的步数之和。显然这应该是一个奇数。

如果黑方胜，请输出一行"Black t"。其中 t 为游戏结束时双方移动的步数之和。显然这应该是一个偶数。

注意，请输出双引号内的字符串，不包含双引号。

【样例1输入】

0 5
4 5
...#O
.#..#
#O#..
.#..X
3 3
#.#
O.O
.X.
3 3
O..
.#X
.O.
5 5
.....
.....
..O..
#..#.
O#.X.
9 9
...######
.#.......
.#######.
.#.#.....
.#O#.####
.#.#.....
.#######.
.#X......
.O.......

【样例1输出】

Black 0
Black 2
Black 2
Tie
Red 75

【样例1说明】

第一组数据，红方第一步没有可行的移动，所以黑方胜。

第二组数据，无论第一步红方怎么移动，黑方都可以在下一步让黑棋子与红棋子在同一个位置。

第三组数据，无论第一步红方怎么移动，黑方都可以将自己的棋子往上移动一枚来达成胜利。

第四组数据，有一个红棋子不能动。另一个红棋子可以在第三行移动来防止黑棋子进入第一行。黑棋子也可以一直在第五行移动。如果红棋子到达第五行，黑棋子可以选择从另一边逃走。

第五组数据，在最后一行的那个红棋子可以从左边绕一圈抓住黑棋子。注意另一个红棋子可以移动。

【样例下载】

样例下载

样例2中的每一组数据都满足测试点 $5$ 到 $13$ 中某一个测试点的限制。

【数据规模与约定】

对于所有的数据，保证：$1 \leq T \leq 10 ; 2 \leq n \leq 10 ; 1 \leq m \leq 10 ; \text{id}$ 等于测试点编号。

对于每组数据保证：棋盘上的黑棋恰好有一个，红棋恰好有两个，且黑棋不在第一 行。

- 测试点 $1 \sim 4$：保证要么平局，要么红方在开始时无法移动。

- 测试点 $5 \sim 6$：保证 $n \geq 4$ 。保证棋盘上第 $n-1$ 行的每一个格子都是障碍物，且 棋盘上其他行没有障碍物。保证黑棋在前 $n-2$ 行，有一个红棋在前 $n-2$ 行，另一个红棋在第 $n$ 行。

- 测试点 $7 \sim 9$：保证 $m=1$。

- 测试点 $10 \sim 13$：保证要么平局，要么存在策略可以在 $9$ 步之内结束游戏。

- 测试点 $14 \sim 20$：无特殊限制。

【来源】

统一省选 2023 Day2 Task1