3561. [USACO21Jan Silver]Spaced Out

【题目描述】

Farmer John 想要拍摄一张他的奶牛吃草的照片挂在墙上。草地可以用一个 $N$ 行 $N$ 列正方形方格所组成的方阵表示（想象一个 $N \times N$ 的棋盘），其中 $2 \leq N \leq 1000$。在 Farmer John 最近拍摄的照片中，他的奶牛们太过集中于草地上的某个区域。这一次，他想要确保他的奶牛们分散在整个草地上。于是他坚持如下的规则：

• 没有两头奶牛可以位于同一个方格。
• 所有 $2 \times 2$ 的子矩阵（共有 $(N-1) \times (N-1)$ 个）必须包含恰好 2 头奶牛。

例如，这一放置方式是合法的：

CCC
...
CCC

而这一放置方式是不合法的，因为右下的 $2 \times 2$ 正方形区域仅包含 1 头奶牛：

C.C
.C.
C..

没有其他限制。你可以假设 Farmer John 有无限多的奶牛（根据以往的经验，这种假设似乎是正确的……）。

Farmer John 更希望某些方格中包含奶牛。具体地说，他相信如果方格 $(i, j)$ 中放有一头奶牛，照片的美丽度会增加 $a_{i,j}$（$0 \leq a_{i,j} \leq 1000$）单位。

求合法的奶牛放置方式的最大总美丽度。

【输入格式】

输入的第一行包含 $N$。以下 $N$ 行每行包含 $N$ 个整数。从上到下第 $i$ 行的第 $j$ 个整数为 $a_{i,j}$ 的值。

【输出格式】

输出一个整数，为得到的照片的最大美丽度。

【样例输入】

4
3 3 1 1
1 1 3 1
3 3 1 1
1 1 3 3

【样例输出】

22

【样例说明】

在这个样例中，最大美丽度可以在如下放置方式时达到：

CC..
..CC
CC..
..CC

这种放置方式的美丽度为 $3 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 22$。

【数据规模与约定】

测试点 2-4 满足 $N \le 4$。

测试点 5-10 满足 $N\le 10$。

测试点 11-20 满足 $N \le 1000$。

【来源】

USACO 一月公开赛 Silver 组