4010. [NOI 2023]贸易

【题目描述】

近年来，A 国的商贸发展迅猛，但国内的道路建设却跟不上步伐，明显成为了人们贸易往来的限制，管理者为此费尽了心思。

具体而言，A 国共有 $2^n-1$ 个城市，其中 $1$ 号城市为首都。对于所有的非首都城市 $i$，都有一条单向道路从城市 $i$ 出发，到达城市 $\lfloor \frac{i}{2} \rfloor$。为方便起见，称这样的道路为“第一类道路”，称城市 $\lfloor \frac{i}{2} \rfloor$ 为城市 $i$ 的“上级城市”。

除此之外，还有 $m$ 条单向道路，设其中第 $i$ 条道路从城市 $u_i$ 出发，到达城市 $v_i$，这样的道路都有一个特殊性质：从城市 $v_i$ 出发，沿着第一类道路不断向“上级城市”走去，最终总能走到城市 $u_i$。称这样的道路为“第二类道路”。

每一条道路都有相应的长度值。由此，对于 A 国的任意两个城市 $x$ 和 $y$，都可以计算出从城市 $x$ 出发，沿道路走到城市 $y$，所经过的道路的长度之和的最小值，将这一数值记为 $dist(x,y)$。但由于 A 国的道路建设存在严重缺陷，从城市 $x$ 出发可能根本到达不了城市 $y$，此时定义 $dist(x,y)=0$。同时一个城市出发到自己是不需要经过任何道路的，因此定义 $dist(x,x)=0$。

现在管理者希望计算出这些 $dist(x,y)$ 的值，以便合理衡量人们贸易往来的便捷程度。但由于 A 国的城市数量太多，将这些值一一列出的工作量太大，因此管理者只希望求出所有 $dist(x,y)$ 值之和，也就是 $\sum_{x=1}^{2^n-1}{\sum_{y=1}^{2^n-1}{dist(x,y)}}$，并希望请你来帮忙。

【输入格式】

输入的第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$。

输入的第二行包含 $2^n-2$ 个正整数，第 $i$ 个数 $a_i$ 表示从城市 $i+1$ 出发, 到达城市 $\lfloor \frac{i+1}{2} \rfloor$ 的“第一类道路”的长度。

接下来的 $m$ 行，每行包含三个正整数 $u,v,w$，描述了一条从城市 $u$ 到城市 $v$ 的“第二类道路”, 其长度为 $w$。

【输出格式】

输出一行一个正整数，表示对应的答案。由于答案可能很大, 你只需要输出模 $998244353$ 意义下的答案即可。

【样例1输入】

2 1
2 1
1 2 2

【样例1输出】

8

【样例2~4】

样例下载

【数据规模与约定】

对于所有测试数据保证：$2 \le n \le 18$，$1 \le m \le 2 ^ n$，$1 \le u, v \le 2 ^ n - 1$，$1 \le a_i, w \le 10 ^ 9$。

特殊性质：保证每一条“第二类道路”都是从首都（城市 $1$）出发。

【来源】

NOI2023 Day2 Task1