3366. [USACO20 Feb Gold]Help Yourself(Gold)

【题目描述】

Bessie 得到了一条一维数轴上的 $N$ 条线段（$1\le N\le 10^5$）。第 $i$ 条线段包含满足 $l_i\le x\le r_i$ 的所有实数 $x$。

定义一组线段的并为所有被至少一条线段所包含的实数 $x$ 的集合。定义一组线段的复杂度为这组线段的并的连通区域数量。

Bessie 想要求出给定的 $N$ 条线段组成的集合的所有 $2^N$ 个子集的复杂度之和模 $10^9+7$ 的值。

通常你的任务是帮助 Bessie。然而这次，你就是 Bessie，没人来帮你。请吧！

【输入格式】

第一行包含 $N$。

以下 $N$ 行每行包含两个整数 $l_i$ 和 $r_i$。保证 $l_i< r_i$，且所有 $l_i,r_i$ 均为 $1 \ldots 2N$ 中的不同整数。

【输出格式】

输出答案模 $10^9+7$ 的值。

【样例输入】

3
1 6
2 3
4 5

【样例输出】

8

【样例解释】

所有非空子集的复杂度如下。

$$\{[1,6]\} ⟹ 1, \{[2,3]\} ⟹ 1, \{[4,5]\} ⟹ 1$$

$$\{[1,6],[2,3]\} ⟹ 1, \{[1,6],[4,5]\} ⟹ 1, \{[2,3],[4,5]\} ⟹ 2$$

$$\{[1,6],[2,3],[4,5]\} ⟹ 1$$

答案为 $1+1+1+1+1+2+1=8$。

【提示】

对于$ 25\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 3 $)，满足$ N\le 16 $。 

对于$ 58\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 7 $)，满足$ N\le 1000 $。 

对于$ 100\% $的测试数据，均满足上文所给出的数据规模。

【来源】

USACO 二月公开赛 Gold 组