4009. [NOI 2023]深搜

【题目描述】

深度优先搜索是一种常见的搜索算法。通过此算法，我们可以从一个无重边、无自环的无向连通图 $G = (V, E)$，和某个出发点 $s$，得到一棵树 $T$。

算法的流程描述如下:

1. 将栈 $S$ 设置为空，并令 $T = (V, \emptyset)$，即 $T$ 的边集初始为空。

2. 首先将出发点 $s$ 压入 $S$ 中。

3. 访问栈顶节点 $u$，并将 $u$ 标记为“已访问的”。

4. 如果存在与 $u$ 相邻且未被访问的节点，则任意地从这些节点中挑选一个记为 $v$。我们将边 $(u, v)$ 加入 $T$ 的边集中，并将 $v$ 压入栈 $S$ 中，然后回到步骤 3。若不存在这样的节点，则从栈中弹出节点 $u$。

可以证明，当图 $G$ 为连通图时，该算法会得到图的某一棵生成树 $T$。但算法得到的树 $T$ 可能不是唯一的，它取决于搜索的顺序，也就是算法的第 4 步所选取的顶点。指定出发点 $s$ 后，如果能够选取一种特定的搜索顺序，使得算法得到的树恰好是 $T$，则我们称 $T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树。

现在给定一棵 $n$ 个顶点的树 $T$，顶点编号为 $1 \sim n$，并额外给出 $m$ 条边。我们保证这 $m$ 条边两两不同，连接不同的顶点，且与 $T$ 中的 $n - 1$ 条树边两两不同。我们称额外给出的 $m$ 条边为非树边。在这 $n$ 个顶点中，我们指定了恰好 $k$ 个顶点作为关键点。

现在你想知道，有多少种选取这 $m$ 条非树边的方法（可以全部不选），使得：将 $T$ 的边与被选中的非树边构成图 $G$ 之后，存在某个关键点 $s$，使得 $T$ 是 $G$ 的一棵 $s$-dfs 树。

由于答案可能十分巨大，你只需要输出方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数 $c$，表示测试点编号。$c = 0$ 表示该测试点为样例。

输入的第二行包含三个正整数 $n, m, k$，分别表示顶点个数，非树边的数量，关键点的数量。

接下来 $n - 1$ 行，每行包含两个正整数 $u, v$ 表示树 $T$ 的一条边。保证这 $n - 1$ 条边构成了一棵树。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $a, b$ 表示一条非树边。保证 $(a, b)$ 不与树上的边重合，且没有重边。

输入的最后一行包含 $k$ 个正整数 $s_1, s_2, \dots, s_k$，表示 $k$ 个关键点的编号。保证 $s_1, s_2, \dots, s_k$ 互不相同。

【输出格式】

输出一行包含一个非负整数，表示方案数在模 $(10 ^ 9 + 7)$ 意义下的值。

【样例1输入】

0
4 2 2
1 2
2 3
3 4
1 3
2 4
2 3

【样例1输出】

3

【样例2~6】

样例下载

样例2满足测试点 $4 \sim 6$ 的约束条件。

样例3满足测试点 $10 \sim 11$ 的约束条件。

样例4满足测试点 $12 \sim 13$ 的约束条件。

样例5满足测试点 $14 \sim 16$ 的约束条件。

样例6满足测试点 $23 \sim 24$ 的约束条件。

【样例1说明】

在这个样例中，有三种选取非树边的方法：只选取边 $(1, 3)$，只选取边 $(2, 4)$，或不选取任何条非树边。

如果只选取边 $(1, 3)$，或者不选取任何一条非树边，则我们发现 $T$ 都是图 $G$ 的 $3$-dfs 树。指定的搜索顺序如下：

1. 将 $3$ 放入栈 $S$ 中。此时 $S = [3]$。

2. 将 $3$ 标记为“已访问的”。

3. 由于 $3$ 与 $2$ 相连，且 $2$ 是“未访问的”，将 $2$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(3, 2)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [3, 2]$。

4. 将 $2$ 标记为“已访问的”。

5. 由于 $2$ 与 $1$ 相连，且 $1$ 是“未访问的”，将 $1$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(2, 1)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [3, 2, 1]$。

6. 由于与 $1$ 相邻的点都是“已访问的”，将 $1$ 弹出栈，此时 $S = [3, 2]$。

7. 由于与 $2$ 相邻的点都是“已访问的”，将 $2$ 弹出栈，此时 $S = [3]$。

8. 由于 $3$ 与 $4$ 相连，且 $4$ 是“未访问的”，将 $4$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(3, 4)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [3, 4]$。

9. 由于与 $4$ 相连的点都是“已访问的”，将 $4$ 弹出栈，此时 $S = [3]$。

10. 由于与 $3$ 相连的点都是“己访问的”，将 $3$ 弹出栈，此时 $S$重新变为空。

如果只选取边 $(2, 4)$，则我们可以说明 $T$ 是图 $G$ 的 $2$-dfs 树。指定的搜索顺序如下：

1. 将 $2$ 放入栈 $S$ 中。此时 $S = [2]$。

2. 将 $2$ 标记为“已访问的”。

3. 由于 $2$ 与 $3$ 相连，且 $3$ 是“未访问的”，将 $3$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(2, 3)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [2, 3]$。

4. 将 $3$ 标记为“已访问的”。

5. 由于 $3$ 与 $4$ 相连，且 $4$ 是“未访问的”，将 $4$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(3, 4)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [2, 3, 4]$。

6. 由于与 $4$ 相邻的点都是“己访问的”，将 $4$ 弹出栈，此时 $S = [2, 3]$。

7. 由于与 $3$ 相邻的点都是“已访问的”，将 $3$ 弹出栈，此时 $S= [2]$。

8. 由于 $2$ 与 $1$ 相连，且 $1$ 是“未访问的”，将 $1$ 放入栈 $S$ 中，并将 $(2, 1)$ 加入树 $T$ 中，此时 $S = [2, 1]$。

9. 由于与 $1$ 相连的点都是“已访问的”，将 $1$ 弹出栈此时 $S = [2]$。

10. 由于与 $2$ 相连的点都是“已访问的”，将 $2$ 弹出栈，此时 $S$ 重新变为空。

【数据规模与约定】

对于所有测试数据保证：$1 \le k \le n \le 5 \times 10 ^ 5$，$1 \le m \le 5 \times 10 ^ 5$。

特殊性质 A：保证在 $T$ 中，$i$ 号点与 $i + 1$ 号点相连（$1 \le i < n$）。

特殊性质 B：保证若将 $T$ 的边与所有 $m$ 条非树边构成一个图 $G$，则 $T$ 是 $G$ 的棵 $1$-dfs 树。

请注意，$1$ 号点不一定是 $k$ 个关键点之一。

【来源】

NOI2023 Day1 Task2