3483. [APIO 2010]巡逻

【题目描述】

在一个地区中有 $n$ 个村庄，编号为$ 1, 2, \dots, n $。有 $ n – 1 $ 条道路连接着这些村庄，每条道路刚好连接两个村庄，从任何一个村庄，都可以通过这些道路到达其他任一个村庄。每条道路的长度均为 $1$ 个单位。 为保证该地区的安全，巡警车每天要到所有的道路上巡逻。警察局设在编号 为 $ 1 $ 的村庄里，每天巡警车总是从警察局出发，最终又回到警察局。 下图表示一个有 $ 8 $ 个村庄的地区，其中村庄用圆表示（其中村庄 $ 1 $ 用黑色的 圆表示），道路是连接这些圆的线段。为了遍历所有的道路，巡警车需要走的距 离为 $ 14 $ 个单位，每条道路都需要经过两次。

为了减少总的巡逻距离，该地区准备在这些村庄之间建立 $ K $ 条新的道路， 每条新道路可以连接任意两个村庄。两条新道路可以在同一个村庄会合或结束 （见下面的图例（c））。 一条新道路甚至可以是一个环，即，其两端连接到同一个村庄。 由于资金有限，$ K $ 只能是 $ 1 $ 或 $ 2 $。同时，为了不浪费资金，每天巡警车必须经过新建的道路正好一次。 下图给出了一些建立新道路的例子：

在(a)中，新建了一条道路，总的距离是 $ 11 $。在(b)中，新建了两条道路，总的巡逻距离是 $ 10 $。在(c)中，新建了两条道路，但由于巡警车要经过每条新道路正好一次，总的距离变为了 $ 15 $。 试编写一个程序，读取村庄间道路的信息和需要新建的道路数，计算出最佳的新建道路的方案使得总的巡逻距离最小，并输出这个最小的巡逻距离。

【输入格式】

第一行包含两个整数 $ n,K(K\in\lbrack1,2\rbrack) $。接下来 $ n – 1 $ 行，每行两个整数 $ a, b $， 表示村庄 $ a $ 与 $ b $ 之间有一条道路 $ 1\leq a,b\leq n $。

【输出格式】

输出一个整数，表示新建了 $ K $ 条道路后能达到的最小巡逻距离。

【样例输入1】

8 1
1 2
3 1
3 4
5 3
7 5
8 5
5 6

【样例输出1】

11

【样例输入2】

8 2
1 2
3 1
3 4
5 3
7 5
8 5
5 6

【样例输出2】

10

【样例输入3】

5 2
1 2
2 3
3 4
4 5

【样例输出3】

6

【提示】

$ 10\% $的数据中，$ n\leq1000,K=1 $；

$ 30\% $的数据中，$ K = 1 $；

$ 80\% $的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 $ 25 $；

$ 90\% $的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 $ 150 $；

$ 100\% $的数据中,$ 3\leq n\leq 2\times 10^6 $ ,$ K\in\{1,2\}$。

【来源】

APIO 2010/BZOJ 1912,《算法竞赛进阶指南》