4008. [NOI 2023]桂花树

【题目描述】

小 B 八年前看到的桂花树是一棵 $n$ 个节点的树 $T$，保证 $T$ 的非根结点的父亲的编号小于自己。给定整数 $k$，称一棵 $(n+m)$ 个节点的有根树 $T^{\prime}$ 是繁荣的，当且仅当以下所有条件满足：

1. 对于任意满足 $1 \le i,j \le n$ 的 $(i,j)$，在树 $T$ 和树 $T^{\prime}$ 上，节点 $i$ 和 $j$ 的最近公共祖先编号相同。

2. 对于任意满足 $1 \le i,j \le n + m$ 的 $(i,j)$，在树 $T^{\prime}$ 上，节点 $i$ 和 $j$ 的最近公共祖先编号不超过 $\max(i,j)+k$。

注意题目中所有树的节点均从 $1$ 开始编号，且根结点编号为 $1$。$T^{\prime}$ 不需要满足非根结点的父亲编号小于自己。

小 B 想知道有多少棵 $(n+m)$ 个节点的树是繁荣的，认为两棵树不同当且仅当存在某一个节点在两棵树上的父亲不同。你只输出方案数在模 $(10^9+7)$ 意义下的值。

【输入格式】

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含两个整数 $c,t$，分别表示测试点编号和测试数据组数。$c=0$ 表示该测试点为样例。

接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：

输入的第一行包含三个整数 $n,m,k$。

输入的第二行包含 $n-1$ 个整数 $f_2,f_3,\dots,f_n$，其中 $f_i$ 表示 $T$ 中节点 $i$ 的父亲节点编号。

【输出格式】

对于每组测试数据输出一行一个整数，表示繁荣的树的数量在模 $(10^9+7)$ 意义下的答案。

【样例1输入】

0 3
1 2 1

2 2 1
1
2 2 0
1

【样例2输出】

3
16
15

【样例2~4】

样例下载

样例2满足 $n \le 100$，五组测试数据中 $m$ 分别不超过 $0, 1, 1, 2, 2$。

样例3满足 $k = 0$，五组测试数据中前两组测试数据满足 $n = 1$，第一、三、四组测试数据满足 $n, m \le 100$。

样例4前两组测试数据满足 $n = 1$，第一、三、四组测试数据满足 $n, m \le 100$。

【样例说明】

对于样例中的第一组测试数据，有三棵合法的树，其每个节点的的父亲构成的序列 $\{f_2,f_3\}$ 分别为 $\{1,1\}$、$\{3,1\}$、$\{1,2\}$。注意这组测试数据的第二行为空行。

对于样例中的第二组、第三组测试数据，共有 $16$ 棵树满足第一个条件，其中只有父亲序列为 $\{4,4,1\}$ 的树在第三组测试数据中不满足第二个条件。

【数据规模与约定】

对于所有测试数据保证：$1 \le t \le 15$，$1 \le n \le 3 \times 10^4$，$0 \le m \le 3000$，$0 \le k \le 10$，$1 \le f_i \le i - 1$。

【来源】

NOI2023 Day1 Task1