3853. [雅礼集训 2018 Day10] 足球大战

【题目描述】

有一场足球比赛，还有 $n$ 秒就要结束了，比分还是 $0:0$。

主队每秒进球概率为 $p$，客队每秒进球概率为 $q$，求主队获胜概率。

注意，一秒钟一个队最多进一个球，主队获胜当且仅当主队进球比客队多。

为了避免精度误差，把最后的答案化成最简分数

$\frac{x}{y}$，输出 $x$ 和 $y$ 关于 $(10^9+7)$ 的逆元的乘积即可。

根据费马小定理，

$\frac{x}{y} \bmod (10^9+7) = x\times y^{10^9+5} \bmod (10^9+7)$.

$p$ 和 $q$ 将通过一种特别的方式给出：给出 $pa, pb, qa, qb，$

$p = \frac{pa}{pb}, q = \frac{qa}{qb}$。

【输入格式】

第一行一个正整数 $n$，表示剩余的秒数。

第二行两个整数

$pa, pb, p = \frac{pa}{pb}$，表示主队每秒进球期望数。

第三行两个整数

$qa, qb, q = \frac{qa}{qb}$，表示客队每秒进球期望数。

【输出格式】

输出一行一个整数，表示把答案化成最简分数

$\frac{x}{y}$ 后， $x$ 乘以 $y$ 的逆元关于 $(10^9+7)$ 取模后的值。

【样例1输入】

1
1 2
1 2

【样例1输出】

250000002

【样例1说明】

比赛还剩 $1$ 秒，主队获胜当且仅当主队进球且客队不进球，概率为 $\frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$，$4$ 关于 $10^9+7$ 的逆元为 $250\ 000\ 002$。

【样例2输入】

10
1 1
1 3

【样例2输出】

762519270

【样例2说明】

获胜概率为 $1\ -\ \left(\frac{1}{3}\right)^{10}$。

【样例3输入】

233333
233 2333333
566 5666666

【样例3输出】

46387011

【数据规模与约定】

对于所有的数据， $1 \leq n \leq 10^7, 0 \leq pa,qa \leq 10^9, 1 \leq pb, qb \leq 10^9, pa \leq pb, qa \leq qb$。注意常数优化！注意内存限制！

【来源】