3394. [USACO20 Open Gold]Exercise (Gold)

【题目描述】

Farmer John（又）想到了一个新的奶牛晨练方案！

如同之前，Farmer John 的 $N$ 头奶牛（$1\le N\le 10^4$）站成一排。对于 $1\le i\le N$ 的每一个 $i$，从左往右第 $i$ 头奶牛的编号为 $i$。他告诉她们重复以下步骤，直到奶牛们与她们开始时的顺序相同。

 • 给定长为 $N$ 的一个排列 $A$，奶牛们改变她们的顺序，使得在改变之前从左往右第 $i$ 头奶牛在改变之后为从左往右第 $A_i$ 头。

例如，如果 $A=(1,2,3,4,5)$，那么奶牛们总共进行一步。如果 $A=(2,3,1,5,4)$，那么奶牛们总共进行六步。每步之后奶牛们从左往右的顺序如下：

 • 0 步：$(1,2,3,4,5)$

 • 1 步：$(3,1,2,5,4)$

 • 2 步：$(2,3,1,4,5)$

 • 3 步：$(1,2,3,5,4)$

 • 4 步：$(3,1,2,4,5)$

 • 5 步：$(2,3,1,5,4)$

 • 6 步：$(1,2,3,4,5)$

求所有正整数 $K$ 的和，使得存在一个长为 $N$ 的排列，奶牛们需要进行恰好 $K$ 步。

由于这个数字可能非常大，输出答案模 $M$ 的余数（$10^8\lt M\le 10^9+7$，$M$ 是质数）。

【输入格式】

输入的第一行包含 $N$ 和 $M$。

【输出格式】

输出一个整数。

【样例输入】

5 1000000007

【样例输出】

21

【样例解释】

存在排列使得奶牛需要进行 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 以及 $6$ 步。因此，答案为 $1+2+3+4+5+6=21$。

【提示】

对于$ 50\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 5 $)，满足$ N \le 100 $。

对于$ 100\% $的测试数据，均满足上文所给出的数据规模。

【来源】

USACO 美国公开赛 Gold 组