4115. [统一省选 2025]幸运数字

【题目描述】

小 X 有 $n$ 个正整数二元组 $(a_i, b_i) (1 \leq i \leq n)$。他将会维护初始为空的可重集 $S$，并对其进行 $n$ 轮操作。第 $i (1 \leq i \leq n)$ 轮操作中，他会在 $S$ 中加入 $a_i$ 个 $b_i$。 设 $m = \sum \limits_{i=1}^{n} a_i$，在所有操作结束后，小 X 会得到一个包含 $m$ 个正整数的可重集 $S$。最后他会计算 $S$ 的中位数，即 $S$ 中第 $\left\lfloor \frac{m+1}{2} \right\rfloor$ 小的数，作为他的幸运数字。 想知道小 X 幸运数字的小 Y 不知道这 $n$ 个二元组的具体数值是多少，但她得知了每个数的范围。具体地，对于每个 $1 \leq i \leq n$，小 Y 知道 $a_i \in [l_{i,1}, r_{i,1}]$ 且 $b_i \in [l_{i,2}, r_{i,2}]$。 小 Y 想知道在满足以上条件的情况下，有多少个数可能成为小 X 的幸运数字。

【输入格式】

本题有多组测试数据。输入的第一行两个整数 $c, T$，分别表示测试点编号和测试数据组数，接下来输入每组测试数据。样例满足 $c = 0$。 对于每组测试数据，第一行一个整数 $n$，表示二元组的个数，接下来 $n$ 行，第 $i (1 \leq i \leq n)$ 行四个整数 $l_{i,1}, r_{i,1}, l_{i,2}, r_{i,2}$，描述二元组每个数的范围。

【输出格式】

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示可能的幸运数字个数。

【样例输入】

0 4
2
1 2 1 1
1 1 2 2
2
1 1 1 2
1 1 2 3
2
1 2 1 2
2 3 3 4
4
1 2 1 4
3 4 1 2
3 4 2 3
3 4 3 4

【样例输出】

1
2
4
3

【样例说明】

该组样例共有 $4$ 组测试数据。

 - 对于第一组测试数据，若取 $(a_1, b_1) = (1, 1), (a_2, b_2) = (1, 2)$，则得到 $S = \{1, 2\}$，其中位数为 $1$；若取 $(a_1, b_1) = (2, 1), (a_2, b_2) = (1, 2)$，则得到 $S = \{1, 1, 2\}$，其中位数为 $1$。因此仅有 $1$ 为可能计算出的中位数，因此答案为 $1$。

 - 对于第二组测试数据，若取 $(a_1, b_1) = (1, 1), (a_2, b_2) = (1, 2)$，则得到 $S = \{1, 2\}$，其中位数为 1；若取 $(a_1, b_1) = (1, 2), (a_2, b_2) = (1, 3)$，则得到 $S = \{2, 3\}$，其中位数为 $2$。可以证明不存在其他可能计算出的中位数，因此答案为 $2$。

 - 对于第三组测试数据，可以证明有且仅有 $1, 2, 3, 4$ 为可能计算出的中位数，因此答案为 $4$。

 - 对于第四组测试数据，可以证明有且仅有 $1, 2, 3$ 为可能计算出的中位数，因此答案为 $3$。

【数据规模与约定】

【来源】