3396. [USACO20 Open Platinum]Exercise (Platinum)

【题目描述】

Farmer John（又）想到了一个新的奶牛晨练方案！

如同之前，Farmer John 的 $N$ 头奶牛（$1\le N\le 7500$）站成一排。对于 $1\le i\le N$ 的每一个 $i$，从左往右第 $i$ 头奶牛的编号为 $i$。他告诉她们重复以下步骤，直到奶牛们与她们开始时的顺序相同。

 • 给定长为 $N$ 的一个排列 $A$，奶牛们改变她们的顺序，使得在改变之前从左往右第 $i$ 头奶牛在改变之后为从左往右第 $A_i$ 头。

例如，如果 $A=(1,2,3,4,5)$，那么奶牛们总共进行一步。如果 $A=(2,3,1,5,4)$，那么奶牛们总共进行六步。每步之后奶牛们从左往右的顺序如下：

 • 0 步：$(1,2,3,4,5)$

 • 1 步：$(3,1,2,5,4)$

 • 2 步：$(2,3,1,4,5)$

 • 3 步：$(1,2,3,5,4)$

 • 4 步：$(3,1,2,4,5)$

 • 5 步：$(2,3,1,5,4)$

 • 6 步：$(1,2,3,4,5)$

计算所有可能的 $N!$ 种长为 $N$ 的排列 $A$ 回到起始顺序需要的步数的乘积。

由于这个数字可能非常大，输出答案模 $M$ 的余数（$10^8\lt M\le 10^9+7$，$M$ 是质数）。

使用 C++ 的选手可以使用 KACTL(中国选手需要VPN) 中的这一代码。这一名为 Barrett 模乘(中国选手需要VPN) 的算法可以以比通常计算快上数倍的速度计算 $a \% b$，其中 $b>1$ 为一个编译时未知的常数。（不幸的是，我们没有找到对于 Java 的这样的优化）。(译注：中文选手可以参考 几种取模优化方法(译自 min-25 的博客))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;
typedef __uint128_t L;
struct FastMod {
    ull b, m;
    FastMod(ull b) : b(b), m(ull((L(1) << 64) / b)) {}
    ull reduce(ull a) {
        ull q = (ull)((L(m) * a) >> 64);
        ull r = a - q * b; // can be proven that 0 <= r < 2*b
        return r >= b ? r - b : r;
    }
};
FastMod F(2);

int main() {
    int M = 1000000007; F = FastMod(M);
    ull x = 10ULL*M+3; 
    cout << x << " " << F.reduce(x) << "\n"; // 10000000073 3
}

【输入格式】

输入的第一行包含 $N$ 和 $M$。

【输出格式】

输出一个整数。

【样例输入】

5 1000000007

【样例输出】

369329541

【样例解释】

对于每一个 $1\le i\le N$，以下序列的第 $i$ 个元素等于奶牛需要使用 $i$ 步的排列数量：$[1,25,20,30,24,20]$。

所以答案等于 $1^1\times 2^{25}\times 3^{20}\times 4^{30}\times 5^{24}\times 6^{20}\equiv 369329541\pmod{10^9+7}$。

【提示】

对于$ 6\% $的测试数据(测试点$ 2 $)，满足$ N = 8 $。

对于$ 31\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 5 $)，满足$ N \le 50 $。

对于$ 50\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 8 $)，满足$ N \le 500 $。

对于$ 75\% $的测试数据(测试点$ 1 \sim 12 $)，满足$ N \le 3000 $。

对于$ 100\% $的测试数据，均满足上文所给出的数据规模。

【来源】

USACO 美国公开赛 Platinum 组