3529. [USACO20Dec Platinum]Spaceship

【题目描述】

奶牛 Bessie 外星人绑架了，现在被关在了一艘外星人的飞船里！飞船有 $N$（$1\le N\le 60$）间房间，编号为 $1\ldots N$，其中某些房间之间由单向通过的门所连接（由于使用了奇怪的外星技术，一扇门甚至可能从一间房间通回这间房间本身！）。然而，没有两扇门具有完全相同的出发和到达房间。此外，Bessie 有一个遥控器，上有编号为 $1\ldots K$ （$1 \le K \le 60$）的按钮。

如果 Bessie 能够完成一个怪异的任务，外星人就会释放她。首先，他们会选择两间房间 $s$ 和 $t$（$1 \le s, t \le N$），以及两个整数 $b_s$ 和 $b_t$（$1 \le b_s, b_t \le K$）。他们会将 Bessie 放在房间 $s$ 内，并令她立刻按下按钮 $b_s$。然后 Bessie 需要继续在飞船内穿梭，同时按下按钮。有一些 Bessie 的行动需要遵守的规则：

• 在每间房间内，在按下恰好一个按钮后，她必须选择从某扇门离开去往另一间房间（可能会回到同一间房间）或停止行动。
• 一旦 Bessie 按下某个按钮，她再次按下这个按钮即为非法，除非在此之间她按下过编号更大的按钮。换句话说，按下编号为 $x$ 的按钮会使得这个按钮变为非法，同时所有编号 $<x$ 的按钮会被重置为合法。
• 如果 Bessie 按下非法的按钮，任务即失败，外星人就会把她关起来。

仅当 Bessie 停止行动时位于房间 $t$，她最后按下的按钮是 $b_t$，并且没有按下过非法按钮时，Bessie 才会被释放。

Bessie 担心她可能无法完成这一任务。对于 $Q$（$1\le Q\le 60$）个询问，每个询问包含一组 Bessie 认为可能的 $s, t, b_s$ 以及 $b_t$，Bessie 想要知道可以使她得到释放的通过房间与按键序列的数量。由于答案可能非常大，输出对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

【输入格式】

输入的第一行包含 $N,K,Q$。

以下 $N$ 行每行包含 $N$ 个二进制位（0 或 1）。如果从房间 $i$ 到房间 $j$ 存在一扇门，则第 $i$ 行的第 $j$ 位为 1，如果没有这样的门则为 0。

以下 $Q$ 行，每行包含四个整数 $b_s$、$s$、$b_t$、$t$，分别表示起始按钮、起始房间、结束按钮、结束房间。

【输出格式】

对 $Q$ 个询问的每一个，在一行内输出操作序列的数量模 $10^9+7$ 的结果。

【样例输入1】

6 3 8
010000
001000
000100
000010
000000
000001
1 1 1 1
3 3 1 1
1 1 3 3
1 1 1 5
2 1 1 5
1 1 2 5
3 1 3 5
2 6 2 6

【样例输出1】

1
0
1
3
2
2
0
5

【样例输入2】

6 4 6
001100
001110
101101
010111
110111
000111
3 2 4 3
3 1 4 4
3 4 4 1
3 3 4 3
3 6 4 3
3 1 4 2

【样例输出2】

26
49
29
27
18
22

【样例输入3】

6 10 5
110101
011001
001111
101111
111010
000001
2 5 2 5
6 1 5 2
3 4 8 3
9 3 3 5
5 1 3 4

【样例输出3】

713313311
716721076
782223918
335511486
539247783

【样例说明】

确保输出答案对 $10^9+7$ 取模。

对于【样例 1】，门连接了房间 $1\to 2$、$2 \to 3$、$3\to 4$、$4\to 5$ 以及 $6\to 6$。

对于第一个询问，Bessie 必须在按下第一个按钮后立刻停止行动。

对于第二个询问，答案显然为零，因为无法从房间 3 前往房间 1。

对于第三个询问，Bessie 的唯一选择是从房间 1 移动到房间 2 到房间 3，同时按下按钮 1、2 和 3。

对于第四个询问，Bessie 的移动方式是唯一的，她有三种可能的按键序列：

• $(1,2,3,2,1)$
• $(1,2,1,3,1)$
• $(1,3,1,2,1)$

对于最后一个询问，Bessie 有五种可能的按键序列：

• $(2)$
• $(2,3,2)$
• $(2,3,1,2)$
• $(2,1,3,2)$
• $(2,1,3,1,2)$

【样例 2】满足除第一个子任务外所有子任务的限制条件。

【数据规模与约定】

对于$ 17\% $的测试数据(测试点$ 4\sim7 $)，$K\le 5$ 且 $(b_s,s)$ 在所有询问中均相同。

另有$ 17\% $的测试数据(测试点$ 8\sim11 $)，对所有询问有 $b_s=K-1$ 以及 $b_t=K$。。

另有$ 17\% $的测试数据(测试点$ 12\sim17 $)，满足 $N,K,Q\le 20$。

对于$ 100\% $的测试数据，均满足上文所给出的数据规模。

【来源】

USACO 十二月月赛 Platinum 组