4119. [统一省选2025]岁月

【题目背景】

希望大家一直记得我。  

“希望大家永远忘了我。”

【题目描述】

小 Y 有一个 $n$ 个节点、$m$ 条边的带权无向图 $G$，节点由 1 至 $n$ 编号。第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 条边连接 $u_i$ 和 $v_i$，边权为 $w_i$。保证 $G$ 连通且没有重边自环。

小 Y 预见到岁月将会磨灭图 $G$ 的痕迹，而这会导致一些边变成有向边，另一些边直接消失。具体地，图 $G$ 历经岁月将会磨损为 $n$ 个节点的带权有向图 $G'$，其中对于第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 条边，$G'$ 上

- 有 $\frac{1}{4}$ 的概率同时存在 $u_i$ 向 $v_i$ 和 $v_i$ 向 $u_i$ 的有向边，它们的边权均为 $w_i$;

- 有 $\frac{1}{4}$ 的概率存在 $v_i$ 向 $u_i$、边权为 $w_i$ 的有向边，而不存在其反向边;

- 有 $\frac{1}{4}$ 的概率存在 $u_i$ 向 $v_i$、边权为 $w_i$ 的有向边，而不存在其反向边;

- 有 $\frac{1}{4}$ 的概率 $u_i$ 和 $v_i$ 之间没有边。

所有 $m$ 个随机事件是独立的。

小 Y 认为一个无向图的核心是最小生成树，而一个有向图的核心是最小外向生成树。称图 $G'$ 的一个边子集 $E$ 是外向生成树，当且仅当 $|E| = n - 1$ 且存在一个节点 $x$ 可以只经过 $E$ 中的有向边到达图 $G'$ 上的所有节点。图 $G'$ 的最小外向生成树即为图 $G'$ 上边权和最小的外向生成树。

小 Y 希望图的核心历经岁月侵蚀也保持不变，于是他想知道，有多大的概率，图 $G'$ 的最小外向生成树存在，且其边权和等于图 $G$ 的最小生成树边权和。

你需要将答案对 $(10^9 + 7)$ 取模。可以证明答案一定为有理数 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 互质，且 $b$ 不是 $(10^9 + 7)$ 的倍数。因此你输出的数 $x$ 需要满足 $0 \leq x < 10^9 + 7$ 且 $a \equiv bx \pmod{10^9 + 7}$，可以证明这样的 $x$ 唯一存在。

【输入格式】

本题有多组测试数据。输入的第一行两个整数 $c, T$，分别表示测试点编号和测试数据组数，接下来输入每组测试数据。样例满足 $c = 0$。

对于每组测试数据，第一行两个整数 $n, m$，分别表示图 $G$ 的点数和边数，接下来 $m$ 行，第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 行三个整数 $u_i, v_i, w_i$，描述图 $G$ 上的一条边。

【输出格式】

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示图 $G'$ 的最小外向生成树存在且其边权和等于图 $G$ 的最小生成树边权和的概率，对 $(10^9 + 7)$ 取模。

【样例输入】

0 2
2 1
1 2 1
3 3
1 2 2
1 3 2
2 3 2

【样例输出】

750000006
171875002

【样例说明】

该组样例共有 2 组测试数据。

- 对于第一组测试数据，由于图上只有一条边，因此只要 $G'$ 上有边，$G'$ 的最小外向生成树边权和就一定等于 $G$ 的最小生成树边权和。$G'$ 上存在边的概率为 $\frac{3}{4}$，故答案为 $\frac{3}{4}$，取模后的结果为 $750\,000\,006$。

- 对于第二组测试数据，在所有 $2^{2m} = 64$ 种 $G'$ 中，有 13 种情况不满足 $G'$ 的最小外向生成树边权和等于 $G$ 的最小生成树边权和：

 - $G'$ 为空图;

 - $G'$ 仅包含一条有向边，共 6 种情况;

 - $G'$ 仅包含两条有向边，且指向同一个节点，共 3 种情况;

 - $G'$ 仅包含两条有向边，且构成一个二元环，共 3 种情况。

由于所有情况等概率出现，因此答案为 $1 - \frac{13}{64} = \frac{51}{64}$，取模后的结果为 $171\,875\,002$。

【数据规模与约定】

【来源】

2025联合省选day2T2