3882. [省选 2023]填数游戏

【题目描述】

众所周知，Alice 和 Bob 是一对好朋友。今天，他们约好一起玩游戏。

一开始，他们各自有一张空白的纸条。接下来，他们会在纸条上依次写 $n$ 个 $[1,m]$ 范围内的正整数。等 Alice 写完，Bob 在看到 Alice 写的纸条之后开始写他的纸条。

Alice 需要保证她写下的第 $i$ 个数在集合 $S_{i}$ 中，Bob 需要保证他写下的第 $i$ 个数在集合 $T_{i}$ 中。题目保证 $1 \leq\left|S_{i}\right|,\left|T_{i}\right| \leq 2$ 。

Alice 喜欢相同，因此，她希望她写下的数与 Bob 写下的数对应位置相同的个数尽量多。Bob 喜欢不同，因此，他希望他写下的 $n$ 个数 $b_{1}, \cdots, b_{n}$ 互不相同。在此基础上，Bob 希望他写下的数与 Alice 写下的数对应位置相同的个数尽量少。

即设 Alice 写下的数为 $a_{1}, \cdots, a_{n}$，Bob 写下的数为 $b_{1}, \cdots, b_{n}$，记 $X$ 为满足 $1 \leq i \leq n, a_{i}=b_{i}$ 的下标 $i$ 的个数，则

·Alice 希望最大化 $X,$

·Bob 在保证 $b_{1}, \cdots, b_{n}$ 互不相同的前提下希望最小化 $X$。

你首先想知道 Bob 能否保证他写下的 $n$ 个数互不相同。如果 Bob 能够做到，你想知道在双方均采取最优策略的前提下 $X$ 的值会是多少。

【输入格式】

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示测试数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含两个正整数 $n,m$，表示纸条上需要写的数的个数和数的值域。

接下来 $n$ 行，每行输入的第一个整数为 $\left|S_{i}\right|$ 表示集合 $S_{i}$ 的元素个数，接下来输入 $\left|S_{i}\right|$ 个正整数描述 $S_{i}$ 中的元素。

接下来 $n$ 行，每行输入的第一个整数为 $\left|T_{i}\right|$ 表示集合 $T_{i}$ 的元素个数，接下来输入 $\left|T_{i}\right|$ 个正整数描述 $T_{i}$ 中的元素。

【输出格式】

对于每组测试数据输出一行：若 Bob 无法做到他写下的 $n$ 个数互不相同，输出 `-1`；否则输出在双方均予取最优策略的前提下 $X$ 的值。

【样例1输入】

1
3 4
1 3
2 1 2
2 3 4
2 1 2
2 2 3
2 3 4

【样例1输出】

1

【样例1说明】

在这组样例中，$S_{1}=\{3\}, S_{2}=T_{1}=\{1,2\}, S_{3}=T_{3}=\{3,4\}, T_{2}=\{2,3\}$。Alice 的填法有 $4$ 种，列举如下：

第一种：$a_{1}=3,a_{2}=1,a_{3}=3$。

第二种：$a_{1}=3,a_{2}=1,a_{3}=4$。

第三种：$a_{1}=3,a_{2}=2,a_{3}=3$。

第四种：$a_{1}=3,a_{2}=2,a_{3}=4$。

由于 Bob 必须保证他所填的数互不相同，所以他有以下填法:

第一种：$b_{1}=1,b_{2}=2,b_{3}=3$。

第二种：$b_{1}=2,b_{3}=3,b_{3}=4$。

第三种：$b_{1}=1,b_{2}=2,b_{3}=4$。

第四种：$b_{1}=1,b_{2}=3,b_{3}=4$。

若 Alice 选择第一种填法，则 Bob 为最小化 $X$，选择第二种填法，得到 $X=0$。

若 Alice 选择第二种填法，则 Bob 为最小化 $X$，选择第一种填法，得到 $X=0$。

若 Alice 选择第三种填法，则 Bob 为最小化 $X$，选择第一种填法，得到 $X=0$。

若 Alice 选择第四种填法，则 Bob 无论选择哪种填法，$X$ 均不小于 $1$。

因此，Alice 为最大化 $X$ 的值，她会选择第四种填法。

【样例下载】

样例下载

【数据规模与约定】

对于所有测试数据，保证：$1\leq T\leq 1000;1\leq n,m\leq 10^6;1\leq |S_i|,|T_i|\leq 2$；集合$S_i,T_i$都是$\{1,2,\cdots,m\}$的子集且集合内元素两两不同。

表格中 $\sum n,\sum m$ 分别表示同个测试点内所有测试数据的 $n$ 总和和 $m$ 总和。 $\sum n^{2}, \sum m^{2}, \sum n^{3}, \sum m^{3}$ 的含义类似。

特殊性质 A：对于任何 $1 \leq i \leq n,S_i$ 和 $T_i$ 互不相交，即 $S_i \cap T_i=\emptyset$。

特殊性质 B：$n \geq 3$，且对于任侏何 $1 \leq i<n, T_{1} =\{i,i+1\}$，且 $T_{n}=\{n,1\}$。

特殊性质 C：对于任何 $1 \leq i \leq n,|S_i|=1$。

特殊性质 D：对于任何 $1 \leq i \leq n,S_{i}=T_{i}$。

本题部分测试点读入规模较大，我们建议你采取效率较高的读入方式。

【来源】

统一省选 2023 Day2 Task2