考虑 $k = 1$ 的情况，不妨设 $a$ 降序，此时显然是呈 $\dots, a_4, a_2, a_1, a_3, a_5, \dots$ 状。

然后考虑 $k > 1$，根据数论结论我们知道环长是 $n / \gcd(n, k)$，对于一种环长 $d$，和初始 $k = 1$ 的状态有 $\mathcal O(n / d)$ 处修改，于是记忆化处理，时间复杂度根据调和级数为 $\mathcal O(n\ln n)$。