挺好的递推+恶心的矩阵快速幂题

题面:有一个n行m列的棋盘,在当前位置可以瞬移，每次可向右瞬移奇数列，且瞬移到本行或相邻行，并且不能瞬移出棋盘，问从$(1,1)至(n,m)$的总方案数

首先考虑递推，设$f(i,j)$为投当前在第i行第j列的方案数，因为每次可以向右瞬移，所以$f(i,j)$可以由上一列,上上上一列...推出来,且可以由上一行和下一行推出

则递推转移方程式为$f(i,j) = \sum_{k=j-w,w=1,w+=2}^j f(i,k)+f(i-1,k)+f(i+1,k)$

这样直接枚举是$O(nm^2)$的复杂度，肯定是不行的，那我们继续考虑

我们设$g(i,j) = \sum_{k=j-w,w=1,w+=2}^j f(i,k) = g(i,j-2) + f(i,j-1)$

则方程式转为$f(i,j) = g(i-1,j) + g(i,j) + g(i+1,j) = g(i-1,j-2) + f(i-1,j-1) + g(i,j-2) + f(i,j-1) + g(i+1,j-2) + f(i+1,j-1)$

我们在维护$f$的同时维护$g$则时间复杂度会降到$O(nm)$

一看数据$10^9$，再次拿出我们的dz，一眼鉴定为矩阵快速幂

然后就开始我们快(恶)乐(心)的推转移矩阵的时候：

根据转移方程我们可以分成两种情况，即上一列的方案和上上一列的方案，因为上上一列的方案数在推下一列的方案数时要用到，所以不能去掉，我们都需要记录，所以需要当推到$f(i,j)$时，我们需要$f(i,j-1)， g(i,j-1)， g(i,j-2)$把这三列归为一列，$1至n$为$f(i,j-1)$，$n+1至2n$为$g(i,j-1)$，$2n+1至3n$为$g(i,j-2)$最后该矩阵的长度为$3n$最大为150，则我们转移矩阵大小为$3n * 3n$

先看应该怎样转移

$$\begin{bmatrix}f(1,j-1) & f(2,j-1) & ... & f(n,j-1) & g(1,j-1) & g(2,j-1) & ... & g(n,j-1) & g(1,j-2) & g(2,j-2) & ... & g(n,j-2) \\\end{bmatrix}$$

应该转移为

$$\begin{bmatrix}f(1,j) & f(2,j) & ... & f(n,j) & g(1,j) & g(2,j) & ... & g(n,j) & g(1,j-1) & g(2,j-1) & ... & g(n,j-1) \\\end{bmatrix}$$

所以根据递推转移方程考虑转移矩阵，则可推出矩阵为:

设转移矩阵为$c(i,j)$

首先先看f的矩阵:根据递推方程 当$f(i,j)$时 只需将$c(i-1,i),c(i,i),c(i+1,i)$设为1,才加上$g$即将$c(2*n+i-1,i),c(2*n+i,i),c(2*n+i+1,i)$再设为1就可以了

再考虑$g(i,j)$ 由递推方程式得 应当将$c(i,i+n),c(i+2*n,i+n)$置为1即可

最后看$g(i,j-1)$ 在转移前已经出现，不需要推，所以只要将$c(i+n,i+2*n)$置为1即可

（因为矩阵实在太大画不下，只好描述一下）

Oo最后开始愉悦的矩阵快速幂时刻oO

复杂度为$O(150^3*log(1e9))$，大约为$1e8$所以跑的飞慢qwq

二维递推实在痛苦┭┮﹏┭┮