从整张图入手，有两种方法可以得出这道题的结论。

高斯消元：把矩阵列出来，不难发现矩阵的秩为 $n-1$，那么方案数即为 $2^{m-n+1}$。

构造法：我们考虑一棵树。根据经典的剥叶子型构造手法，我们可以得出一棵树的时候方案数唯一，除非要求 $1$ 的点数为奇数，那样状态异或和为 $1$，而我们的操作状态异或和始终为 $0$，所以构造不出来。反之我们随便抽出来一棵生成树，对于其它边，显然取或不取只会反转两个点的状态，而我们的构造法永远可以构造出唯一解，所以方案数就是 $2^{m-n+1}$。

然后我们考虑这个原问题。图上就那么几个知识点，这题又和割点强相关，那就考虑广义圆方树。

假设一开始有 $\rm cnt$ 个连通块，$i$ 有 $\mathrm{deg}_i$ 条连边，和 $\mathrm{cut}_i$ 个方点相连，并且 $i$ 断开后没有一个连通块内有奇点，那么方案数就是 $2^{m-n-\mathrm{deg}_i+\mathrm{cnt}+1+\mathrm{cut}_i}$。时间复杂度 $\mathcal O(Tn)$。甚至不用显式地建出来圆方树，因为我们只需要 $\rm sz$ 和 $\rm cut$ 两个数组，直接求割点就行。