挺不错的题，原题是 CF 的某个题，但我找不到题号了，所以写个比较易懂的题解方便补，可能废话很多。

首先要有一点初步的观察，可以发现 $\max$ 的求解是很方便的，我们只需要找出所有 $k$ 的倍数，这样一定能让 $\gcd$ 尽可能为 $k$，并且使取的数的个数最多。

然后是最小值。这仍然需要一些观察和经验。我们想要每个取的数都不是 "无用" 的，也就是说，它必须能帮我们 "赶出去" 某些没有用的素因子。

下面是一些经验。假设一开始随便选了一个数 $x(k|x)$，再选一个数 $y(k|y)$，那么必然有 $\gcd(x, y)<x$，否则 $y$ 不如不选。那么有 $\frac{x}{\gcd(x, y)}\ge 2$，因为最小的素因子是 2。

于是我们知道，选数的最小个数其实是 $\mathcal O(\log \max(S_i))$ 级别的，在这道题里面也就 18 个左右。

面对最优化问题关于答案范围的极强约束，一般地，直接枚举答案，转化为 $\forall s\in [1, 18]$，对于 $1\sim n$ 的每个 $k$ 判断是否 "存在" 一种取出 $s$ 个数使得 $\gcd$ 为 $k$ 的方案。

然后是这道题非常巧妙的一个点，一般我们很少遇到判定比计数还困难的题目，这道题就是一个例子。

那怎么办？直接换成计数来做。意识到这一点需要有莫比乌斯反演的功底，这样才能在面对着一个和计数没有关系的题目时，通过诸如 $\gcd = k$ 这样的条件感受出做法。这也给我们启示，有时我们需要用这样的数学直观刺激直觉。

于是我们先枚举 $s$，计算 $F(k,s)$ 表示选 $s$ 个数使得 $\gcd$ 是 $k$ 的倍数，这是简单的，假设原序列有 $p$ 个数是 $k$ 的倍数，那么 $F(k,s)=\mathrm C_{p}^{s}$。$p$ 的计算可以使用狄利克雷后缀和解决，实质上就是高维前缀和的一种拓展。

接下来的操作很平凡，使用莫比乌斯反演，得 $G(k,s)$，即原本要求的方案数，为 $\sum\limits_{k|x}F(x,s)\times \mu(x/k)$。

时间复杂度 $\mathcal O(m\ln m\log m)$。题解好像写的有点魔怔，可能是文化课学多了导致思维也比较呆。