篝火晚会

佳佳刚进高中，在军训的时候，由于佳佳吃苦耐劳，很快得到了教官的赏识，成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上，佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有 n 个同学，编号从 1 到 n 。一开始，同学们按照 1 ， 2 ，……， n 的顺序坐成一圈，而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序，形成新的一个圈，使之符合同学们的意愿，成为摆在佳佳面前的一大难题。    佳佳可向同学们下达命令，每一个命令的形式如下：(b 1 , b 2 ,... b m -1 , b m )     b1,b2....b m可以不是连续的，比如说可以这样命令(1,8,10)    这 里 m 的值是由佳佳决定的，每次命令 m 的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是 b 1 ， b 2 ，…… b m –1 ， b m 的这 m 个同学的位置。要求 b 1 换到 b 2 的位置上， b 2 换到 b 3 的位置上，……，要求 b m 换到 b 1 的位置上。    执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动 m 个人的位置，那么这个命令的代价就是 m 。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿，你能帮助佳佳吗？

输入文件的第一行是一个整数 n （ 3 <= n <= 50000 ），表示一共有 n 个同学。其后 n 行每行包括两个不同的正整数，以一个空格隔开，分别表示编号是 1 的同学最希望相邻的两个同学的编号，编号是 2 的同学最希望相邻的两个同学的编号，……，编号是 n 的同学最希望相邻的两个同学的编号。

输出文件 包括一行，这一行只包含一个整数，为最小的总代价。如果无论怎么调整都不能符合每个同学的愿望，则输出 -1 。

一、可行解相关

1.可行解？：

      我们只需要把一号同学安在第一个位置，然后将他需要的同学安在右边，接着对新安放的同学执行相同操作，直到将所有同学执行完毕即可得到一条安放好所有同学的链。

2.其他解？：

      有两种情况可以构成其他解，一是将n号同学放在第一个位置，很明显这种解与第一种解等价；二是将整个链倒置，我们需要在稍后对这种情况进行讨论。

3.无解？：

      当某一个同学左拥右抱都不能满足其他同学时（三个或更多同学想要和一个同学坐在一起）

      当某一群同学构成一个环却孤立了其他同学时（出现两个或更多环）

二、最优解相关

根据前面对于可行解和原题目的讨论我们可以总结得到下面几条规律：

那么如何得到最优解呢？让我们在小数据中寻找规律

1、2、3，变换到1、3、2                                                                    

1、2、3，变换到3、1、2                                                        

1、2、3、4，变换到2、1、4、3                    

1、2、3、4、5，变换到2、1、3、5、4

1、2、3、4、5，变换到1、3、4、5、2，

（2，3）

（2，3，1）

（1，2），（3，4）

（1，2），（4，5）

（2，5，4，3）

经过推理，我们可以得到以下几条规律（不太好解释，同学们自己理解一下）：

两个序列中相同的部分无需调动，调动只会带来额外的代价；

《浅谈贪心算法在中学生信息学奥林匹克竞赛中的几种运用思路和方式》

关天泽

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，因此，贪心算法在一般问题的应用中仅能得到次优解，适用范围往往有一定限制。

在中学生信息学奥林匹克竞赛中（下文简称NOI），贪心算法往往难以完全适用，以至于出现部分考生对贪心算法的不重视。事实上，贪心算法的应用非常广泛，有时尽管无法使用贪心算法或贪心算法较难证明，但贪心算法对于NOI等测试和训练中仍有指导性意义。对此，我在此对贪心算法的可能性用法做出几点探讨。

一：对于难以直接证明的贪心进行一步步逼近例题：[NOIP2010冲刺十二] 奶牛晒衣服【题目描述】  

    在熊大妈英明的带领下，时针和它的同伴生下了许多牛宝宝。熊大妈决定给每个宝宝都穿上可爱的婴儿装。于是，为牛宝宝洗晒衣服就成了很不爽的事情。

圣人王担负起了这个重任。洗完衣服后，你就要弄干衣服。衣服在自然条件下用1的时间可以晒干A点湿度。抠门的熊大妈买了1台烘衣机。使用烘衣机可以让你用1的时间使1件衣服除开自然晒干的A点湿度外，还可烘干B点湿度，但在1的时间内只能对1件衣服使用。

   N件的衣服因为种种原因而不一样湿，现在告诉你每件衣服的湿度，要你求出弄干所有衣服的最少时间（湿度为0为干）。

【输入格式】  第一行N，A，B；接下来N行，每行一个数，表示衣服的湿度(1≤湿度，A，B≤500000，1≤N≤500000)。 【输出格式】  一行，最少时间。 【样例输入】  3 2 1

1

2

3 【样例输出】 1

这是一道经典的贪心优化题（当然这道题有二分的做法）。经过简单的计算可以得到裸贪的话时间复杂度远超限定的时间范围。

加上我们对于贪心的效率了解，可以得知贪心法的效率往往是最高的，所以我们可以选择从贪心的优化着手做题。我们发现每一次贪心都要对最湿的衣服进行烘干，并把烘干后的衣服重新加入排序中。我们可以联想到优先队列与该操作完全重合。由此，只需要将贪心与优先队列相结合就可以AC这道题。因篇幅限制，代码不在此展示（下文同）

二、对于DP起到思路指导作用例题：[NOIP 2005] 过河【问题描述】 在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整 数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点： 0 ， 1 ，……， L （其中 L 是桥的长度）。坐标为 0 的点表示桥的起点，坐标为 L 的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是 S 到 T 之间的任意正整数（包括 S,T ）。当青蛙跳到或跳过坐标为 L 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度 L ，青蛙跳跃的距离范围 S,T ，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。 【输入文件】 输入文件的第一行有一个正整数 L （ 1 <= L <= 10^9 ），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数 S ， T ， M ，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中 1 <= S <= T <= 10 ， 1 <= M <= 100 。第三行有 M 个不同的正整数分别表示这 M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。 【输出文件】 输出文件只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。 【输入样例】 10

2 3 5

2 3 5 6 7【输出样例】 2【数据规模】 对于30%的数据，L <= 10000；

对于全部的数据，L <= 10^9。

初见题目时，先考虑能否使用贪心算法，即直接选取最远距离跳。由于有最短跳跃距离限制，可以轻易证明，直接选取最远无石子距离跳跃会造成部分石子多解，对此我们可以由贪心思路推断出动态规划的状态转移方程。

通过贪心算法的发现，我们把每一个桥上的点踩过石子的次数视作前s至t个点踩过石子的次数，若这一个点上有石子则将这个值+1，选择这个点最少的石子次数，最终根据题意输出数轴上第l至l+t个点上最少的石子次数。得到动态规划的状态转移方程。

最后对其进行状态压缩即可AC，由于与本文思想关系不大，在此不再赘述。

 这道题主要有两种常见做法：二分法和贪心法

这里我们主要讲一下二分法

(Q：你不是说你最喜欢贪心吗

 A：我会说我懒得打优先队列吗？）

【题目描述】

    在熊大妈英明的带领下，时针和它的同伴生下了许多牛宝宝。熊大妈决定给每个宝宝都穿上可爱的婴儿装。于是，为牛宝宝洗晒衣服就成了很不爽的事情。

圣人王担负起了这个重任。洗完衣服后，你就要弄干衣服。衣服在自然条件下用1的时间可以晒干A点湿度。抠门的熊大妈买了1台烘衣机。使用烘衣机可以让你用1的时间使1件衣服除开自然晒干的A点湿度外，还可烘干B点湿度，但在1的时间内只能对1件衣服使用。     N件的衣服因为种种原因而不一样湿，现在告诉你每件衣服的湿度，要你求出弄干所有衣服的最少时间（湿度为0为干）。

聚焦题目，显而易见贪心的方法就是每天取最大值，但如果裸贪的话......500000*500000，请？

对于我个人来说，数据结构能不用是绝对不会用的，考虑了插入排序和一些优化的数学方式之后决定走向二分法。

我们发现，每天晒干湿度的值是单调递增的，换句话说，二分的前提条件已经到手了。那么，我们只要对用于晒干衣服的天数进行二分，讨论当前情况下能否晒干并对其进行二分查找操作即可快速得到需要晒干的最少天数。

我们可以设置一个函数，对每一件衣服在当前天数情况下能否晒干进行判断，再对没有晒干衣服使用烘衣机的总天数进行计算，最后将使用烘衣机的天数与预设的天数比较，前者大则当前天数下无法晒干，需要增加预设的天数；前者小则可以晒干，减少预设的天数进一步压榨效率。

int check(int ans){
	int days = 0;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		if(wet[i]>ans*A){
			days += ceil( (wet[i] - ans * A) *1.0 / B); //需要小数否则会舍弃小数位 
		}
	}
	if(days>ans){
		return 0;
	}
	else{
		return 1; 
	} 
}

代码详见右下角，祝愿大家都能天天·一A，学业进步！

注：代码中二分部分的注释时间复杂度多打了一个N，总体不影响，我懒得再传一次代码了（逃

以下提供三种模板供您选择，发布题解时请删除模板中提示语等多余文字。

【模板一：多解法题解模板】

一、 解法概览

二、 详细解析

解法一：[名称，如：暴力搜索]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 算法步骤：

  1、步骤1描述

  2、步骤2描述

  3、步骤3描述

  *、步骤*描述

• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

解法二：[名称，如：动态规划]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 状态定义：dp[i] = [含义说明]
• 状态转移方程：dp[i] = [方程表达式]
• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

解法三：[名称，如：贪心算法]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 贪心策略：

[策略描述]

• 正确性证明：

[简要证明或说明]

• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

三、 对比总结

• 效率对比：

[各解法在时间和空间上的表现对比]

• 适用场景推荐：
  • 小数据规模： 推荐[解法名称]
  • 大数据规模： 推荐[解法名称]
  • 特殊要求： [特定场景下的推荐]

四、 推荐题目

• 列出1-2道与本题思路相关、可供巩固练习的题目链接。

【模板二：思维演进题解模板】

一、 初始思路（第一反应）

• 直觉解法：

[描述最初想到的方法]

• 存在问题：

[分析该方法的缺陷]

• 改进方向：

[基于缺陷提出的改进思路]

二、 优化过程

版本1.0：基础实现

• 思路：

[描述基础版本的思路]

• 复杂度： 时间O(?), 空间O(?)
• 核心代码：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 瓶颈分析：

[分析性能瓶颈]

版本2.0：算法优化

• 优化点：
  
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我们先考虑暴力，暴力枚举每一个$i,j$暴力算$\binom{i}{j}$时间复杂度为$O(T*N^3)$，显然超时

然后我们发现$N,M \le2000$我们考虑使用组合数的递推公式预处理$\binom{0}{0}$到$\binom{2000}{2000}$。

这里说一下组合数递推公式$\binom{i}{j}=\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j}$\可以从组合意义上来理解 我们从$i$个数中选$j$个数，对于每一个数可以分为选与不选两种情况，选的时候即$\binom{i-1}{j-1}$,在剩下的$i-1$个数里选$j-1$个数，不选的时候即$\binom{i-1}{j}$，在剩下的$i-1$个数里选出$j$个数.

但是这样复杂度为$O(T*N^2+N^2)$，依旧无法通过，事实上我们需要一种不需要枚举$i,j$的方法才能通过。

我们发现对于多个询问，$k$始终为定值，于是考虑前缀和优化，设$ans_{i,j}$，在预处理时，若$k|\binom{i}{j}$,则将$ans_{i,j}+1$。然后套用二维前缀和。但是我们发现，二维前缀和递推时 $ans_{i,j}=ans_{i-1,j}+ans_{i,j-1},-ans_{i-1,j-1}+[k|\binom{i}{j}]$，在处理到边界时，我们会用未处理的值(因为此时$<j$)来更新。但是我们又发现

### 对于所有的 $0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )$ 有多少对 $(i,j)$ 满足 $k|\binom{i}{j}$

于是我们直接将未处理的值设为同一行上一个值

由此即可AC这道题了!

<details>  <summary>点我展开看代码</summary>      ```cpp

       #include <bits/stdc++.h>        using namespace std;        #define int long long        int t,n,m,k,c[2008][2008],ans[2008][2008];        void init(){            c[0][0]=1;            c[1][0]=c[1][1]=1;            for(int i=2;i<=2000;i++){                c[i][0]=1;                 for(int j=1;j<=i;j++){              

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

string s[55];

int main(){

   int n,c=0;

   cin>>n;

   for(int i=1;i<=n;i++){

       cin>>s[i];

   }

  &nbs

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