我们先考虑暴力，暴力枚举每一个$i,j$暴力算$\binom{i}{j}$时间复杂度为$O(T*N^3)$，显然超时

然后我们发现$N,M \le2000$我们考虑使用组合数的递推公式预处理$\binom{0}{0}$到$\bin

........................................................................

该题解待审

........................................................................(剩余 717 个中英字符)

我们先考虑暴力，暴力枚举每一个$i,j$暴力算$\binom{i}{j}$时间复杂度为$O(T*N^3)$，显然超时

然后我们发现$N,M \le2000$我们考虑使用组合数的递推公式预处理$\binom{0}{0}$到$\binom{2000}{2000}$。

这里说一下组合数递推公式$\binom{i}{j}=\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j}$\可以从组合意义上来理解 我们从$i$个数中选$j$个数，对于每一个数可以分为选与不选两种情况，选的时候即$\binom{i-1}{j-1}$,在剩下的$i-1$个数里选$j-1$个数，不选的时候即$\binom{i-1}{j}$，在剩下的$i-1$个数里选出$j$个数.

但是这样复杂度为$O(T*N^2+N^2)$，依旧无法通过，事实上我们需要一种不需要枚举$i,j$的方法才能通过。

我们发现对于多个询问，$k$始终为定值，于是考虑前缀和优化，设$ans_{i,j}$，在预处理时，若$k|\binom{i}{j}$,则将$an

........................................................................

该题解待审

........................................................................(剩余 2672 个中英字符)

题意

题意：求∑i=1n∑j=1m[i=j](nmodi)⋅(mmodj)。

数据范围：1⩽n,m⩽109。

分析

这是一道简单的推式子题，但是实现比较恶心。

首先不妨设n⩽m（如果n>m交换一下就好了）

然后可以用容斥将题目拆成两个部分：

i=1∑nj=1∑m(nmodi)⋅(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

将两个求和拆开：

i=1∑n(nmodi)⋅j=1∑m(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

因为取模很难搞，所以可以用一个性质amodb=a−⌊ba⌋⋅b（取模的定义），将上式转换为：

i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅j=1∑m(m−⌊jm⌋⋅j)−i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅(m−⌊im⌋⋅i)

将括号拆开，可以得到：

(n2−i=1∑ni⋅⌊in⌋)⋅(m2−i=1∑mi⋅⌊im⌋)−i=1∑n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)

此时我们的复杂度已经是O(n)了，然而这个复杂度仍然不足以通过本题。

要做这道题需要一个简单的技巧——整除分块。

我们很容易发现很多⌊in⌋的值是一样的，且所有的⌊in⌋为一个不下降子序列，呈块状分布

通

........................................................................

该题解待审

........................................................................(剩余 3653 个中英字符)

题意

题意：求∑i=1n∑j=1m[i=j](nmodi)⋅(mmodj)。

数据范围：1⩽n,m⩽109。

分析

这是一道简单的推式子题，但是实现比较恶心。

首先不妨设n⩽m（如果n>m交换一下就好了）

然后可以用容斥将题目拆成两个部分：

i=1∑nj=1∑m(nmodi)⋅(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

将两个求和拆开：

i=1∑n(nmodi)⋅j=1∑m(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

因为取模很难搞，所以可以用一个性质amodb=a−⌊ba⌋⋅b（取模的定义），将上式转换为：

i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅j=1∑m(m−⌊jm⌋⋅j)−i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅(m−⌊im⌋⋅i)

将括号拆开，可以得到：

(n2−i=1∑ni⋅⌊in⌋)⋅(m2−i=1∑mi⋅⌊im⌋)−i=1∑n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)

此时我们的复杂度已经是O(n)了，然而这个复杂度仍然不足以通过本题。

要做这道题需要一个简单的技巧——整除分块。

我们很容易发现很多⌊in⌋的值是一样的，且所有的⌊in⌋为一个不下降子序列，呈块状分布

........................................................................

该题解待审

........................................................................(剩余 3621 个中英字符)

题目大意

按照格雷码的生成方式，输出 n 位格雷码的第 k 号二进制串。（从 0 开始编号）

思路

填完第 k 个 n 位格雷码的第 1 位后，把它转化成某一个 n−1 位格雷码继续填这个 n−1 位格雷码的第 1 位，以此类推。

如何确定转化成第几个 n−1 位格雷码：

当 k<2n−1，因为这个 n 位格雷码的前 2n−1 个二进制串的后 n−1 位是由 n−1 位格雷码正序排列而成的，所以 k 保持不变。

当 k≥2n−1，因为这个 n 位格雷码的后 2n−1 个二进制串的后 n−1 位是由 n−1 位格雷码逆序排列而成的，所以 k 要先减去 2n−1，变成 n−1 位格雷码，再翻转才能保证是逆序的，即 k=r-k+l