首先令 $a_n$ 为 $n$ 个奇点的奇树数量，类似的，定义 $b_n$ 为 $n$ 个偶点的偶树数量。

然后令 $A(x)=\sum_{i \ge 0}{a_ix^i}\ ,\ B(x)=\sum_{i \ge 0}{b_ix^i}$.

我们肯定是往根下面连若干个偶树使其成为奇树，或者是往根下面连若干个奇树使其成为偶树。

对于前者，枚举子树的大小，类似背包，可以得到：

$$A(x)=x\prod_{i \ge 1}{(1+x^i+x^{2i}+\dots)^{b_i}}$$

$$=x\prod_{i \ge 1}{(\frac{1}{1-x^i})^{b_i}}$$

乘 $x$ 是因为根本身是一个奇点。

于是：

$$\ln(A(x))=\ln(x)-\sum_{i \ge 1}{b_i\ln(1-x^i)}$$

两边求导：

$$\frac{A'(x)}{A(x)}=\frac{1}{x}+\sum_{i \ge 1}{ib_i\frac{x^{i-1}}{1-x^i}}$$

两边乘 $xA(x)$:

$$xA'(x)=A(x)+A(x)\sum_{i \ge 1}{ib_i\frac{x^i}{1-x^i}}$$

考虑第 $n$ 项系数：

$$na_n=a_n+\sum_{i=1}^{n-1}{a_i\sum_{j=1}^{n-1}{jb_j([x^{n-i}]\frac{x^j}{1-x^j})}}$$

而：

$$\frac{x^j}{1-x^j}=\sum_{i \ge 1}{x^{ij}}=\sum_{i \ge 1}{[j|i]x^i}$$

于是：

$$na_n=a_n+\sum_{i=1}^{n-1}{a_i\sum_{j=1}^{n-1}{jb_j[j|n-i]}}$$

也就是：

$$a_n=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}{a_i\sum_{j=1}^{n-1}{jb_j[j|n-i]}}}{n-1}$$

再看后者，类似的，有：

$$B(x)=\prod_{i \ge 1}{(\frac{1}{1-x^i})^{a_i}}-1$$

$-1$ 是因为不存在 $0$ 个偶点的偶树。

类似得到：

$$b_n=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{(b_i+[i=0])\sum_{j=1}^{n}{ja_j[j|n-i]}}}{n}$$

这样就可以使用分治 $NTT$ 解决了，时间复杂度 $O(n\log^2n)$.