显然 $f(S)$ 即为 $m^{\mathsf{连通块个数}}$。

连通块是困难的，要搞容斥系数什么的好像也行，但这个数据范围过不去。

考虑转化一下命题，联通块内颜色相同 $\to$ 边的两点颜色相同。显然两命题等价。此时边就成了两个元素上的限制，表示一种二元关系。不妨设第 $i$ 条边表示的限制为 $p_i$。

则 $f(S)=\mathrm{sum}(\bigcap\limits_{i\in S} p_i)$，其中 $\mathrm{sum}(P)$ 表示限制集为 $P$ 的方案数。

显然只有机器人会处理交集这种限制。此时需要转换视角。发现 $(-1)^{|S|+1}$ 这个东西很像容斥系数，配上 $f(S)$ 化开后 RHS 的式子就更有容斥的感觉了。

写一下答案的式子：

$$\mathrm{ans}=\sum_{\emptyset \neq S\subseteq E} (-1)^{|S|+1}\times f(S)=\sum_{\emptyset \neq S\subseteq E}(-1)^{|S|+1}\times \mathrm{sum}(\bigcap_{i\in S} p_i)=\mathrm{sum}(\bigcup_{i\in E} p_i)$$。

并集是容易处理的。正难则反一下，算总方案减去所有条件都不满足的方案，即 $m^n-m^{\underline n}$。